Fourier 급수 예제

주기가 2pi인 함수들을 sin(nx) 와 cos(nx)의 함수들로 전개할 수 있다.

함수 f(x) 를 위와 같이 전개하는 것을 Fourier 급수라고 한다.

주기 2pi 인 함수에 대해 fourier 급수를 구한다,

계수 an 을 구하는 과정이다. 

계수 bn을 구하는 과정이다.

계수인 an과 bn을 구했음으로 최종적인 f(x)를 구할 수 있다. 

마지막 답이 g(x) 가 아니고 f(x) 이다,

추가로 풀 문제 틀
ex7.5.5)\quad \\ f(x)\quad =\quad 0\quad (-\pi <x<0)\\ f(x)\quad =\quad -1\quad (0<x<\frac { \pi  }{ 2 } )\\ f(x)\quad =\quad 1\quad \quad (\frac { \pi  }{ 2 } <x<\pi )\\ \\ \\ { a }_{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ f(x)\cdot cos(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ f(x)\cdot cos(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }{ f(x)\cdot cos(nx) } dx\\ =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ 0\cdot cos(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ -1\cdot cos(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }{ 1\cdot cos(nx) } dx\\ \\ \\ when\quad n\quad =\quad 0\\ { a }_{ 0 }\quad =\quad \frac { 1 }{ \pi  } (-\frac { \pi  }{ 2 } +\frac { \pi  }{ 2 } )\quad =\quad 0\\ \\ when\quad n\quad \neq \quad 0\\ { a }_{ n }\quad =\quad { \frac { -sin(nx) }{ n\pi  }  }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }\quad +\quad { \frac { sin(nx) }{ n\pi  }  }_{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }\quad \\ =\quad \frac { -sin(\frac { \pi  }{ 2 } n)+sin(n\pi )-sin(\frac { \pi  }{ 2 } n) }{ n\pi  } \quad \\ =\frac { -2sin(\frac { \pi  }{ 2 } n) }{ n\pi  } \\ =\frac { -2 }{ \pi  } +\frac { 2 }{ 3\pi  } +\frac { -2 }{ 5\pi  } +\frac { 2 }{ 7\pi  } +\cdots \\ \\ \\ \\ \\ { b }_{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ f(x)\cdot sin(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ f(x)\cdot sin(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }{ f(x)\cdot sin(nx) } dx\\ =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ 0\cdot sin(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ -1\cdot sin(nx) } dx\quad +\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }{ 1\cdot sin(nx) } dx\\ =\quad { \frac { cos(nx) }{ n\pi  }  }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }+{ \quad \frac { -cos(nx) }{ n\pi  }  }_{ \frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \pi  }\\ =\quad \frac { 1 }{ n\pi  } (\quad cos(\frac { \pi  }{ 2 } n)\quad -\quad 1\quad -\quad cos(n\pi )\quad +\quad cos(\frac { \pi  }{ 2 } x)\quad )\\ =\quad \frac { 1 }{ n\pi  } (\quad 2cos(\frac { \pi  }{ 2 } n)\quad -\quad 1\quad -\quad cos(n\pi )\quad )\\ =\quad \frac { -4 }{ 2\pi  } +\frac { -4 }{ 6\pi  } +\frac { -4 }{ 10\pi  } +\frac { -4 }{ 14\pi  } +\cdots \\ \\ \\ \\ f(x)\quad =\quad \frac { -2 }{ \pi  } (\frac { cosx }{ 1 } -\frac { cos3x }{ 3 } +\frac { cos5x }{ 5 } +\cdots )\quad +\frac { -4 }{ \pi  } (\frac { sin2x }{ 2 } +\frac { sin6x }{ 6 } +\frac { sin10x }{ 10 } +\cdots )