중적분 예제

문제 1  

적분 순서 바꾸기

'

풀이

x 의 범위가 0에서 2 

y 의 범위가 0에서 2

x와 y의 적분 순서를 변경해도 전혀 문제 없다!

문제 2  

적분 순서 바꾸기

풀이

e^(t^2) 의 적분값을 직접 구할 수는 없다.

중적분 안의 식에 y가 없음으로 적분 순서를 바꾸어 식을 전개한다.

전개한 식에서 x에 대해 미분하면 아래 식과 같다.

x=1을 대입하면 거슬렸던 적분 하나가 0이 되면서 답을 구할 수 있다.

문제 3

적분 순서 바꾸기

풀이

이렇게 적분을 했더니 적분을 구할 수 없는 형태로 나와버렸다
그렇다면 y와 x의 적분 순서를 바꾸어서 풀어보자!!!!!!!!

짜잔~ 적분 순서를 바꾸니 쉽게 답이 나왔다

문제 4

중적분 적분 범위 결정하기

풀이

처음 적분 식에서 x와 y의 범위 를 각각 구할 수 있다.

y는 x보다 큼으로 0 보다 크다.

y 적분 범위에서 x는 y보다 작은 부분을 적분함으로 x의 범위는 y보다 작다.

x와 y의 범위를 새롭게 정하고 적분하면 아래와 같은 풀이가 나온다.

문제 5

중적분 적분 범위 결정하기

풀이

처음 적분 식에서 x와 y의 범위 를 각각 구할 수 있다.

y는 x보다 큼으로 0 보다 크다.

y 적분 범위에서 x는 y보다 작은 부분을 적분함으로 x의 범위는 y보다 작다.

x와 y의 범위를 새롭게 정하고 적분하면 아래와 같은 풀이가 나온다.
새로운 구간의 적분 식에서 마지막으로 적분하는 부분은 상수로만 구성되어야 한다.

문제 6

극좌표계로 변환

풀이

x구간과 y구간을 정리해보니
적분하고자 하는 구간이 1사분면에 위치한 부분의 원의 일부라는 것을 알 수 있다.

반지름 길이 1의 원이다.
1사분면의 구간이 적분 범위이다.

극좌표계로 치환하여 적분값을 구할 수 있다.

문제 7

x와 y의 범위가 [0,1] 일때 주어진 정적분 값을 구하라!

풀이

문제 8 

중적분 범위가 역역  D일 때

x의 범위가 [-1,1]
y의 범위가 [-1,1]
이라고 할 때 범위 D에 대하여 함수 f(x,y)를 적분해라!

 풀이

문제 9

중적분 범위가 그림일 때

x의 범위가 0에서 2 이고 y는 x보다 크다. 따라서 x와 y는 모두 1사분면에 위치한다.
y는 x보다 큼으로 y=x 위의 범위이다. 반경 2root2 내부의 원 내부이이기도 하다.
위 조건들을 모두 만족하는 적분 구간은 아래 그림과 같다.

풀이

문제 10

중적분 범위가 그림일 때

영역 T는 (0,0) (1,0) (1,1)을 잇는 아래 그림의 범위와 같다.

풀이

극좌표계로 나타내면 

x=rcos(theta)

y=rsin(theta)

r이 최대일 때 즉 특정 각(theta)에 대해 원점으로부터 가장 멀리 있을 때는

x=1 일 때 이다.

따라서 r의 최댓값은 

r(max) = 1/cos(theta) 

영역 T의 각 경계가 x축과 y=x임으로 각의 범위는 0에서 45도 이다.

극좌표계로의 변환은 아래 수식과 같다.

1+r^2 을 t로 치환