맥클로린 급수 예제 ( 테일러 급수 예제 )

맥클로린 급수

함수 f(x)를 아래와 같이 표현하면 급수 형태로 나타낼 수 있다.

급수 판정에 의해 n번째 항까지 구하면 그 급수와 실제 함수 값의 차이(오차)는 

n번 째 항보다 작다. 

테일러 급수 식

문제 1

이고 f(x)의 맥클로린 급수가 

 일 때   의 값은?

풀이

테일러 급수 기본 형태를 생각하면 쉽게 풀리는 문제이다. 

(x-a)^n 에서 a가 0 임으로 맥클로린 급수 이다. 

맥클로린 급수 형태로 나타낸 후 n에 0을 대입하면 된다. 

테일러 급수의 정의를 아냐 라는 문제이다. 

문제 2

1. 함수      에 대한 매클로린급수 전개식은 무엇인가?

풀이

ln(x+1) 의 맥클로린 급수정도는 외워두자....

문제 3

함수      에 대한 매클로린급수의 수렴구간은?

풀이

ln(1+x)의 매클로린 급수를 알고 있어야 한다. 

이 정도는 외워두자.. 

x =1 일 때와 x=-1 일 때 함수의 수렴을 판단하는 부분에서

1)과 2) 부분에서

각각

 (-1)^(2n+1)

(-1)^n+1

이다.

마지막 시그마 값에 -만 붙여주면 되서 수렴 발산판정에는 영향을 주지 않았지만 

계산 실수다 ;;

문제 4

의 값은?

풀이

로피탈 정리로 계산할 수도 있겠지만 맥클로린 급수로 풀어보겠어!

문제 5

 일 때 , x=0 에서 Talyor 다항식의 x^5 까지 구하시오.

풀이

문제 6

일 때 를 구해라

풀이 

맥클로린 급수로 표현하여 x^11 에 해당하는 항을 찾아 비교하면 풀 수 있다.

11번 미분하면서 x^11 보다 작은 항은 사라질 것이고 

11승보다 큰 항들은 x에 0을 대입하면서 사라질 것이다. 

문제 7

풀이