양자역학 예제 (9장 10장 11장)

9장

람다가 0이 아닌경우 a=b=c=d 임으로 normalized 된 eigenvector는 1/2(1,1,1,1) 이다.

주어진 matrix에 (1,1,1,1)을 대입하면 eigenvalue 값은 4가 됨을 알 수 있다.

다음으로 람다가 0인경우 a,b,c,d 값은 서로 다를 수 있다. 고유값이 0일 경우

각각의 eigenvector들은 서로 orthogonal 해야하며 각 성분의 합은 0이 되어야함으로 위에 마지막줄에 주어진 벡터로 찾을 수 있다. 

hermitian matrix는 항상 unitary matrix U에 의해 diagonalized 될 수 있다.

trace 안의 순서는 바꾸어도 됨으로 U와 U 데거를 붙여 놓을 수 있고  이 값은 1로 사라진다.

따라서 Tr A는 Tr D 와 같고  (D는 digonalized 된 A) 

이는 곧 Trace A가 eigenvalue들의 합과 같다는 것을 의미한다.

 10장

spin operator 중에 y component를 의미하는 S_y의 eigenstate를 구하라는 문제이다.

S_y 곱하기 카이는 람다 곱하기 카이와 같음으로 determinant=0으로 람다 값을 구할 수 있다.

람다 값은 플마 이분의 하바.

카이_+ 의 값은 양수의 람다값을 넣은 후에 v와 u를 카이에 대입한다.

(1 i) 꼴이 되는데 이것을 normalize 하려면 root2를 나누면 된다. 

카이 마이너스의 경우 (1 -i) 인데 이것 또한 normalize 하려면 root 2를 나누면 된다.

1 over root(5) 라는 spinor가 있다. 프사이를 현재의 상태라고 하면 프사이에 파이 n(카이_-)을 취한 후 제곱을 곱하면 확률이 된다.

3/5*S_x + 4/5*S_y의 eigenvalue를 구하면 람다 = 플마 1 이다.

람다 = -1 인 경우 다시 normalize하여  카이_-를 구할 수 있다.(1번문제 참고)

spinor 에 카이_-값을 취한 후 제곱을 하면 확률을 구할 수 있다.

1번 문제에서 구한 negative eigenvalue 값을 사용하면 된다. 프사이에 negative eigenvalue 값을 곱한 후 제곱을 하면 확률을 구할 수 있다.

시그마 x 제곱 , 시그마 y 제곱, 시그마 z 제곱은 모두 1이다.

또한 시그마 x * 시그마 y는 i * 시그마 z 의 값을 가진다.

위 두 성질을 이용하면 답을 구할 수 있다.

단 여기서 시그마y*시그마x = -i*시그마z 라는 것의 유의하자.