(a) 샌드위치 정리를 사용해서 (0,0)에서 연속하는지에 대해 확인하였다.
(b)
(c)
우선 x와 y에 0을 대입한다.
그리고 양변을 y에 대해 편미분 한다.
(x를 상수취급하고 y에 대해 미분한다.)
x와 y에 0을 대입한다.
cos(f) 값이 0 임으로 sin(f) 값은 1이다.
(a) 비율 판정법으로 계산한다. a(n+1)/a(n) 을 무한의 극한값으로 보내서 1보다 크면 발산 1이면 다른 방법으로 판정 1보다 작으면 수렴한다.
오일러의 수 e는 2.718 임으로 극한값은 1보다 크다. 따라서 발산한다.
(b) 직접 아크텐젠트 1/n의 비교 대상값을 구한다. 아크탄젠트 1은 pi/4이고 아크탄젠트 1/n은 pi/4n 보다 크다.. (탄젠트 안의 값보다 탄젠트 밖에 n을 나누는 것이 훨씬 더 큰 변화가 있다는건 직관적으로 판단해야한다.)
sinx < x 임으로 급수의 비교대상을 결정할 수 있다.
적분 판정으로 더 작음을 확인했음으로 마지막으로 비교판정으로 (작은 급수가 발산) 문제에서 구하고자 하는 급수가 발산함을 확인할 수 있다.
(c)
ㄱ. lim (1-1/n)^n = 1/e 라는 사실을 이용한다.
ㄴ. 모든 양의 실수에서 sinx < x 인데 이는 평균값 정리(?)를 통해 확인할 수 있다.
위 두가지 ㄱ , ㄴ 을 이용하면 아래 풀이가 나온다.
(-1)^n 을 빼고 극한값이 0 으로 수렴하면 alternating series test로 급수는 수렴한다고 판정할 수 있다.
일단 위 수열의 항은 무한대로 갈 수록 감소하고 극한값을 취했을 경우 0임으로 교대급수판정법으로 수렴한다.
비교급수판정법으로 판정했을 경우 절대수렴하지 않는다.
테일러 정리를 이용하여 각 항이 an 이라고 할 때
n까지 항의 급수 합과 실제 함수값의 차이는
즉 오차는 an보다 더 작다.
여기서 오차가 0.001 보다 작아야 한다.
5번째 항이 0.001보다 작음으로 5번째 항까지의 급수 합을 구하면
실제 root e 값을 5번째 항보다 적은 수의 오차정도로 근사값을 구할 수 있다.
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