[2017-2] 미적분학및연습2 3차 시험 ~ 심심해

선적분 (line integral)

(0,1)에서 (1,0)까지 이어진 원주가 있다. 시계방향의 경로로 이동하는 경로를 s리고 할 때 미소변위 ds를 직교죄표로 나타내주세요.
ds= (dx,dy) = (dx, -x/ydx)

선적분 결과는 경로에 따라 다르다. 경로에 상관없이 값이 같은 것은 보존장일 경우이다.
CurlF=0 이면 벡터F는 보존장이다

curl F 가 0임으로 F에 대한 선적분은 경로에 무관한 값을 갖는다.
(0,0,0)에서 (1,1,1) 까지 이어지는 x=y=z 선적분을 계산한 값과 경로 c1 c2 c3를 나누어 생각한 값이 같다.
x=y=z=t 매개변수 t로 치환하여 적분한 값은 6이다.
경로 c1에서 dx만 존재하고 dy dz값은 0이다. y,z 값이 계속 0이기 때문이다. 경로 c2에서 y값의 변화량은 1 x,z=0 이다. 경로 c3에서 z값의 변화량은 1 x,y=0 이다. 각각의 경로에 따라 적분한 값은 6으로 같다.

(추가문제)
어떤 입자에 힘 F=<-x^2y,e^2>을 가해 점(2,0)에서부터 반원 y=root(4-x^2)을 따라 점(-2,0)으로 움직였을 때, 이 입자에 가해진 힘에 의한 일은?

curlF는 0이 아니다. F는 보존장이 아님으로 x y를 치환한 후 적분해야 한다. t를 1사분면에서 반시계방향의 각인 0에서 pi까지의 라이안 각이라고 할 때 x= 2cot y=2sint로 치환한 후 적분하면 답은 2pi이다.

(1)Green Theorem (그린정리)
적분하는 함수가 열린공간 폐곡선 D내에서 미분가능할 때 (미분 가능하면 연속하기 때문에 연속가능하다는 말도 된다.
이 문제를 그린정리로 풀 수 없다. 폐곡면 D 내에는 (0,0)이 포함되는데 (0,0)에서 F가 연속하지 않기 때문이다. curlF 값이 0 이라면 원시함수를 구해서 값을 구할 수 있고 F가 보존장이 아니라면 (curlF 가 0이 아니라면) x,y를 t에 대한 함수로 치환하여 적분할 수도 있다.

F가 보존장일 경우 폐곡선 C에대한 선적분은 0 이다.

x=1/(root3) * cost , y=1/(root5) * sint [0<t<2pi] 로 치환해서 나타낼 수 있다 .
아크탄젠트(탄젠트역함수) 0은 0이고 아크탄젠트 무한대는 pi/2이다.

(2) 구면좌표계

Green Theorem (그린정리)
적분하는 함수가 열린공간 폐곡선 D내에서 미분가능할 때 (미분 가능하면 연속하기 때문에 연속가능하다는 말도 된다.

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면적분을 할 때 구면좌표계를 사용한다
X y z를 각각 2개의 매개변수로 미분해준다.

(1) 폐곡선 임으로 green 정리를 사용하고 싶을 수 있다. 하지만 (0,0)에서 연속하지 않음으로 green 정리를 사용할 수 없다. 타원임으로 x는 루트3분의1 코사인t , y 는 루트5분의 sint로 나타낼 수 있다. 벡터선적분을 이용해서 답을 구하면 되는데 마지막 적분값을 어떻게 구해야 할지 모르겠다..